Предел последовательности/Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть $\alpha _{n}$ и $\beta _{n}$ - бесконечно малые последовательности.

$\forall$ $\epsilon$ $>$ $0$ $N_{1}$ $(\exists )$ : $\forall$ $n$ $>$ $N_{1}$ $(\varepsilon )$ , $\mid \alpha _{n}\mid$ $<$ $\varepsilon$

$\forall$ $\epsilon$ $>$ $0$ $N_{2}$ $(\exists )$ : $\forall$ $n$ $>$ $N_{2}$ $(\varepsilon )$ , $\mid \beta _{n}\mid$ $<$ $\varepsilon$

$\mid$ $\alpha _{n}+\beta _{n}$ $\mid$ $\leq$ $\mid$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $+$ $\mid$ $\beta _{n}$ $\mid$

$\forall$ $\epsilon$ $>$ $0$ $\exists$ $N$ $=$ $max$ $($ $N_{1}$ $(\varepsilon )$, $N_{2}$ $(\varepsilon )$ $)$ : $\forall$ $n$ $>$ $N$ $\mid$ $\alpha _{n}$ $+$ $\beta _{n}$ $\mid$ $<$ $\varepsilon$ $+$ $\varepsilon$ $=$ $2*\varepsilon$

2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме о сумме двух бесконечно малых последовательностей, только вместо $\mid$ $\alpha _{n}+\beta _{n}$ $\mid$ $\leq$ $\mid$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $+$ $\mid$ $\beta _{n}$ $\mid$ надо взять $\mid$ $\alpha _{n}-\beta _{n}$ $\mid$ $\leq$ $\mid$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $+$ $\mid$ $\beta _{n}$ $\mid$.

3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. $M$ $=$ $max$ { $\varepsilon$, $\mid$ $\alpha _{1}$ $\mid$, ..., $\mid$ $\alpha _{N-1}$ $\mid$ }

$\forall$ $n$ : $\mid$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $\leq$ $M$.

4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

$\{{\alpha _{n}\}}$ бесконечно малая, $\{{x_{n}\}}$ - ограниченная.

$\exists$ $c$ $>$ $0$ : $\mid$ $x_{n}$ $\mid$ $\leq$ $c$ , $\forall$ $n$ $<$ $N$

$\forall$ $\epsilon$ $>$ $0$ $\exists$ $N$ $(\varepsilon )$ : $\forall$ $n$ $>$ $N$ $(\varepsilon )$ , $\mid$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $<$ $\varepsilon /c$

$\mid$ $\alpha _{n}$ $*$ $x_{n}$ $\mid$ $=$ $\mid$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $*$ $\mid$ $x_{n}$ $\mid$ $\leq$ $\varepsilon /c$

$\forall$ $\varepsilon$ $>$ $0$ $\exists$ $N$ $(\varepsilon )$ : $\forall$ $n$ $>$ $N$ $(\varepsilon )$

$\mid$ $\alpha _{n}$ $*$ $x_{n}$ $\mid$ $<$ $\varepsilon$.

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Доказательство.

$\{{\alpha _{n}\}}$ - бесконечно малая последовательность.

При $n$ ≥ $N*$ выполнено, что $\alpha _{n}$ $=$ $c$. Предположим, $c$ $\neq$ $0$.

Рассмотрим $\varepsilon$ $=$ $\mid$ $c$ $\mid$ $/$ $2$ $>$ $0$. $\exists$ $N$ $(\varepsilon )$ : $\forall$ $n$ $>$ $N$ $(\epsilon )$ $\mid$ $\alpha _{n}$ $\mid$ $<$ $\mid$ $c$ $\mid$ $/$ $2$.

Положим $N_{1}$ $=$ $max$ $(N(\varepsilon )$ , $N*)$, тогда при $n$ $>$ $N$ , $\mid$ $c$ $\mid$ $<$ $\mid$ $c$ $\mid$ $/$ $2$ - противоречие, значит, $c$ $=$ $0$.

6 (а). Если $\{{x_{n}\}}$ - бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность $\{{1/x_{n}\}}$ , причём она является бесконечно малой.

6 (б). Если $\{{y_{n}\}}$ - бесконечно малая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность $\{{1/y_{n}\}}$ , причём она является бесконечно большой.

Доказательство. $\forall$ $M$ $>$ $0$ $\exists$ $N$ $(M)$ : $\forall$ $n$ $>$ $N$ $(M)$ $\mid$ $x_{n}$ $\mid$ $>$ $M$.

Из этого видно, что начиная с определённого номера $n$ $>$ $0$ , а это значит, что последовательность определена.

$\{{1/x_{n}\}}$ $<$ $1/M\Rightarrow \{{1/x_{n}\}}$ - бесконечно малая.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.