1. Сумма сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов исходных последовательностей.
Доказательство .
Пусть
,
,
,
- бесконечно малая последовательность,
,
- бесконечно малая последовательность.
2. Если
,
, то
3. Если
,
, то
Доказательство .
,
- бесконечно малая последовательность,
,
- бесконечно малая последовательность.
, где
Лемма . Если
≠
, то начиная с некоторого номера определена последовательность
которая является ограниченной.
Доказательство .
Положим
При
справедливо
при
при
4. Если
,
≠ 0, то
=
Доказательство .
В силу леммы начиная с некоторого номера N элементы последовательности
ограничена. С этого номера будем рассматривать последовательность
,
- бесконечно малая последовательность.
,
- бесконечно малая последовательность.
- бесконечно малая последовательность.