Предел последовательности/Числовая подпоследовательность

Определение. Подпоследовательностью $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ называется числовая последовательность, которая составлена из членов последовательности $\{x_{n}\}$ и в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности $\{x_{n}\}$.

Другими словами, возьмем некоторую числовую последовательность $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ..., $x_{n}$. Возьмем вторую произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел $k_{1}<k_{2}<k_{3}<\ldots <k_{n}$. Выберем из последовательности $\{x_{n}\}$ элементы с номерами $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, ..., $k_{n}$ и расположим их в таком же порядке, как и числа $k_{n}$, тогда получим:

$x_{k_{1}}$, $x_{k_{2}}$, $x_{k_{3}}$, ..., $x_{k_{n}}$.

Это и будет подпоследовательность $x_{n_{k}}$ последовательности $x_{n}$.

Определение. Если ${\underset {k\to \infty }{\lim }}a_{n_{k}}=a,$ то $a$ - частичный предел последовательности $\{a_{n}\}$

Теорема о частичных пределах сходящейся последовательности.  Пусть ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=a$ тогда $\forall \{a_{n_{k}}\}:{\underset {k\to \infty }{\lim }}a_{n_{k}}=a.$

Доказательство. Возьмём произвольное $\varepsilon >0$ тогда

${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=a\Rightarrow \exists N(\varepsilon ):\forall n>N(\varepsilon )|a_{n}-a|<\varepsilon .$ Возьмём произвольную $\{a_{n_{k}}\}$. Обозначим $K(\varepsilon )=N(\varepsilon )$ тогда $\forall k>K$ имеем:

$n_{k}\geqslant k>K=N\Rightarrow |a_{n_{k}}-a|<\varepsilon$

См. также

• w:Наибольшая общая подпоследовательность
• w:Алгоритм Бойера — Мура

Ссылки

• Связь основной теоремы алгебры с теорией непрерывных групп