Предел последовательности/Числовая последовательность

Определение. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, ..., n, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число $x_{n}$, то множество вещественных чисел $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ..., $x_{n}$ мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается $\{{x_{n}\}}$.

Задание последовательностей

Чтобы понять смысл слов: „по определенному закону“ ниже на примерах показано, как могут задаваться последовательности ("законы" выделены жирным шрифтом):

1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n,... - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10, ..., 2n ,... - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n-1 , ... - последовательность нечётных чисел.

3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; ...; 3,1415926535897932384626433832; ...; $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}$; ... - последовательность приближённых значений числа π с увеличивающейся точностью.

В общем виде последовательности задаются в виде функции, являясь результатом их вычисления.

Связь с функцией

Определение. Числовая последовательность — не функция от одного натурального аргумента.

$x_{n}$ - члены числовой последовательности. $n$ - номер члена числовой последовательности. $\{x_{n}\}$ или $x_{n},n\in N,{\text{где}}x_{n}=f(n)$ - общий член.

Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.