Скалярное произведение векторов

Определение

Пусть $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — два ненулевых вектора. Если отложить их от одной точки $O$, получится угол между этими векторами (точнее между несущими их полупрямыми, исходящими из точки $O$). Этот угол обозначают ${\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }}$.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})$

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и произведение считают равным нулю.

Свойства скалярного произведения:

1. Коммутативность: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$
2. Линейность по первому аргументу: $(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2})\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b}$ и $(\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$
3. Положительная определенность: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} |^{2}\geq 0$, причем $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0$ тогда и только тогда, когда $\mathbf {a} =\mathbf {0}$

Геометрический смысл скалярного произведения

Связь с проекциями

Алгебраическое значение проекции вектора $\mathbf {a}$ на вектор $\mathbf {b}$ вдоль прямой, перпендикулярной $\mathbf {b}$, очевидно, равно

$|\mathrm {pr} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} |=|\mathbf {a} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})$

Аналогично

$|\mathrm {pr} _{\mathbf {a} }\mathbf {b} |=|\mathbf {b} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})$

Таким образом, скалярное произведение

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathrm {pr} _{\mathbf {a} }\mathbf {b} |=|\mathbf {b} ||\mathrm {pr} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} |$

Связь с длинами

Рассмотрим скалярное произведение вектора на самого себя.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} ||\mathbf {a} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {a} }})=|\mathbf {a} |^{2}$

Связь с углами

Рассмотрим скалярное произведение единичных векторов. Поскольку их длины равны 1, то

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})=\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})$

Скалярное произведение в ортонормированной системе координат

Пусть заданы координаты двух векторов $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$ и $\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$ в ортонормированной системе координат.

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3})\cdot (b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3})=\\&=a_{1}b_{1}\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}+a_{2}b_{2}\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}+a_{3}b_{3}\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}+(a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$

В ортонормированной системе координат $\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}=1$ и $\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}=0$, так как $\cos 0=1,\;\cos {\tfrac {\pi }{2}}=0$. Поэтому

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

Аксиоматический подход

При аксиоматическом подходе скалярное произведение определяется как некоторая функция, аргументы которой — два вектора, результат — число, не зависящее от системы координат, обладающее свойствами:

• Коммутативность
• Линейность по первому аргументу
• Положительная определенность

Тогда производными понятиями становятся

• Длина вектора — число, вычисляемое по правилу $|\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$
• Угол между ненулевыми векторами — число, косинус которого $\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}$
• Ортогональные (перпендикулярные) векторы — векторы, скалярное произведение которых равно 0.

См. также

Задачи