Скалярное произведение векторов/Задачи

Примеры решения задач

Вычисление скалярного произведения

В простейшем случае известны координаты векторов в ортонормированной системе координат. Тогда скалярное произведение вычисляется как сумма произведения одноименных координат.

Смотри также Скалярное произведение векторов

Пример 1

В равностороннем треугольнике $\triangle ABC$ длины сторон равны 1. Вычислить ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {CA}}\cdot {\overrightarrow {AB}}$.

${\begin{aligned}{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {CA}}\cdot {\overrightarrow {AB}}&=|{\overrightarrow {AB}}||{\overrightarrow {BC}}|\cos({\widehat {{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {BC}}}})+|{\overrightarrow {BC}}||{\overrightarrow {CA}}|\cos({\widehat {{\overrightarrow {BC}},{\overrightarrow {CA}}}})+|{\overrightarrow {CA}}||{\overrightarrow {AB}}|\cos({\widehat {{\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {AB}}}})=\\&=1\cdot 1\cdot \cos {\frac {\pi }{3}}2+1\cdot 1\cdot \cos {\frac {\pi }{3}}2+1\cdot 1\cdot \cos {\frac {\pi }{3}}2=-{\frac {3}{2}}\end{aligned}}$

Пример 2

Даны два неколлинеарных вектора $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$. Найти вектор $\mathbf {x}$ компланарный векторам $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ и удовлетворяющий системе уравнений

${\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =1\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} =0\end{cases}}$

Поскольку векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ неколлинеарны, то они образуют базис на плоскости. Любой компланарный им вектор можно представить в виде

$\mathbf {x} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$

Поэтому исходную систему можно переписать в виде

${\begin{cases}\mathbf {a} \cdot (\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} )=1\\\mathbf {b} \cdot (\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} )=0\end{cases}}\quad {\begin{cases}\lambda (\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )+\mu (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=1\\\lambda (\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} )+\mu (\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )=0\end{cases}}$

Решение этой системы

${\begin{cases}\lambda ={\frac {\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}\\\mu ={\frac {-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}\\\end{cases}}$

Таким образом искомый вектор

$\mathbf {x} ={\frac {(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {b} }{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}$

Геометрический смысл скалярного произведения

Длина вектора связана со скалярным произведением формулой $|\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$. Если вектор задан своими координатами $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$ в ортонормированной системе координат, то $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$.

Таким образом

$|\mathbf {a} |={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}$

Смотри также Длина вектора

Во многих случаях необходимо получить единичный вектор $\mathbf {x}$, имеющий то же направление, что и заданный ненулевой вектор $\mathbf {a}$. Эта задача называется нормализацией вектора. Поскольку искомый вектор имеет то же направление, то $\mathbf {x} =k\mathbf {a}$.

$|\mathbf {x} |=1$
$k|\mathbf {a} |=1$
Откуда $k={\tfrac {1}{|\mathbf {a} |}}$

Смотри также Нормализация вектора

Угол между ненулевыми векторами связан со скалярным произведением формулой

$\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}$

Если векторы заданы своими координатами $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$ и $\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$ в ортонормированной системе координат,

$\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})={\frac {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}{\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}}}$

Смотри также Найти угол между векторами

Пример 3

Дан параллелограмм $OACB$. Длины его сторон $|OA|=a,|OB|=b$, угол $\angle AOB=\alpha$. Вычислить длину $d$ диагонали $OC$ параллелограмма и найти косинусы углов между диагональю и сторонами параллелограмма.

Очевидно ${\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}$. Поэтому длина диагонали

${\begin{aligned}d&=|{\overrightarrow {OC}}|=|{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}|={\sqrt {({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}})\cdot ({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}})}}=\\&={\sqrt {{\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OB}}}}=\\&={\sqrt {|{\overrightarrow {OA}}|+|{\overrightarrow {OB}}|+2|{\overrightarrow {OA}}||{\overrightarrow {OB}}|\cos({\widehat {{\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}}}})}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }}\end{aligned}}$

Углы между диагональю и сторонами

${\begin{aligned}\cos({\widehat {{\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OC}}}})&={\frac {{\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OC}}}{|{\overrightarrow {OA}}||{\overrightarrow {OC}}|}}={\frac {{\overrightarrow {OA}}\cdot ({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}})}{|{\overrightarrow {OA}}||{\overrightarrow {OC}}|}}={\frac {|{\overrightarrow {OA}}|^{2}+{\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}}{|{\overrightarrow {OA}}||{\overrightarrow {OC}}|}}={\frac {a^{2}+ab\cos \alpha }{a{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }}}}=\\&={\frac {a+b\cos \alpha }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos({\widehat {{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}}}})&={\frac {{\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}}}{|{\overrightarrow {OB}}||{\overrightarrow {OC}}|}}={\frac {{\overrightarrow {OB}}\cdot ({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}})}{|{\overrightarrow {OB}}||{\overrightarrow {OC}}|}}={\frac {{\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OA}}+|{\overrightarrow {OB}}|^{2}}{|{\overrightarrow {OB}}||{\overrightarrow {OC}}|}}={\frac {ab\cos \alpha +b^{2}}{b{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }}}}=\\&={\frac {a\cos \alpha +b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }}}\end{aligned}}$

Задачи для самостоятельного решения

1. В треугольнике $\triangle ABC$ проведены медианы $AD,BE,CF$. Вычислить ${\overrightarrow {AD}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {BE}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {CF}}\cdot {\overrightarrow {AB}}$.
2. Даны три некомпланарных вектора $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$. Найти вектор $\mathbf {x}$, удовлетворяющий системе уравнений
   ${\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =1\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} =0\\\mathbf {c} \cdot \mathbf {x} =0\end{cases}}$
3. Вычислить длину $d$ диагонали $OD$ параллелепипеда и найти косинусы углов, образуемых диагональю $OD$ с рёбрами $OA,OB,OC$, если известны длины его рёбер $|OA|=a$, $|OB|=b$, $|OC|=c$ и углы $\angle BOC=\alpha$, $\angle COA=\beta$, $\angle AOB=\gamma$.