Теория вероятностей и математическая статистика/Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины

Плотностью распределения случайной величины называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция $f(x)$, для которой выполняется соотношение $F(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {d} t$.

Случайная величина, у которой существует плотность распределения, называется непрерывной. Значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый(конечный или бесконечный) промежуток.

Из определения следует, что $f(x)=F'(x)$.

Важным свойством плотности распределения является $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=1$.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина $X$ примет значение из отрезка $[a,b)$, равна $\mathbf {P} (a\leq X<b)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$.

Для непрерывной случайной величины верно равенство $\mathbf {P} (a\leq X\leq b)=\mathbf {P} (a<X\leq b)=\mathbf {P} (a<X<b)=\mathbf {P} (a\leq X<b)$

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле $\mathbf {M} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm {d} x$.

Дисперсия непрерывной случайной величины имеет вид $\mathbf {D} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x-\mathbf {M} X)^{2}f(x)\mathrm {d} x$

Для вычисления дисперсии, так же, как и для дискретной случайной величины, используют более удобную формулу $\mathbf {D} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\mathrm {d} x-(\mathbf {M} X)^{2}$

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины вычисляется по формуле $\sigma X={\sqrt {\mathbf {D} X}}$

Для непрерывных случайных величин свойства математического ожидания и дисперсии аналогичны представленным в разделе Дискретные случайные величины.

Примеры

Пример 1

Случайная величина $X$ задана функцией распределения $F(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq 2,\\{\frac {1}{2}}x-1,&\quad 2<x\leq 4,\\1,&\quad x>4\end{cases}}$

Найти:

1. Плотность распределения;
2. $\mathbf {P} (1<X<3),\mathbf {M} X,\mathbf {D} X$.

Решение:

1. Воспользуемся определением плотности распределения вероятностей $f(x)=F'(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq 2,\\{\frac {1}{2}},&\quad 2<x\leq 4,\\0,&\quad x>4\end{cases}}$

2. Будем использовать формулу $\mathbf {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$. Искомая вероятность равна $\mathbf {P} (1<X<3)=\int \limits _{1}^{3}f(x)\mathrm {d} x=\int \limits _{1}^{2}0\mathrm {d} x+\int \limits _{2}^{3}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}$.

Также вероятность можно было найти с помощью формулы $\mathbf {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)={\frac {1}{2}}-0={\frac {1}{2}}$.

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины $X$:$\quad$ $\mathbf {M} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm {d} x=\int \limits _{2}^{4}x{\frac {1}{2}}\mathrm {d} x=3$;

$\mathbf {D} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\mathrm {d} x-(\mathbf {M} X)^{2}=\int \limits _{2}^{4}x^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} x-(\mathbf {M} X)^{2}={\frac {28}{3}}-9={\frac {1}{3}}$.

Пример 2

Случайная величина $X$ задана плотностью распределения $f(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq 0,\\cx^{2},&\quad 0<x\leq 3,\\0,&\quad x>3\end{cases}}$

Найти:

1. постоянную $c$
2. функцию распределения

Решение:

1. Для нахождения постоянной $c$ воспользуемся свойством плотности $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=1$. Подставляя в формулу явный вид $f(x)$, получим уравнение $\int \limits _{-\infty }^{0}0\mathrm {d} x+\int \limits _{0}^{3}cx^{2}\mathrm {d} x+\int \limits _{3}^{+\infty }0\mathrm {d} x=1$.

Отсюда $\int \limits _{0}^{3}cx^{2}\mathrm {d} x=c{\frac {x^{3}}{3}}{\bigg |}_{0}^{3}=c{\frac {27}{3}}=1$. Значит, $c={\frac {3}{27}}$.

2. Согласно определению, $F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\mathrm {d} t$

Тогда:

1. Для $x\leq 0$ получим $F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}0\mathrm {d} t=0$, так как $f(t)=0$ для $t\leq x$.
2. Для $0<x\leq 3$ получим $F(x)=\int \limits _{-\infty }^{0}0\mathrm {d} t+\int \limits _{0}^{x}{\frac {3}{27}}t^{2}\mathrm {d} t={\frac {3}{27}}{\frac {t^{3}}{3}}{\bigg |}_{0}^{3}=1$.
3. Для $x>3$ получим $F(x)=\int \limits _{-\infty }^{0}0\mathrm {d} t+\int \limits _{0}^{3}{\frac {3}{27}}t^{2}\mathrm {d} t+\int \limits _{3}^{x}0\mathrm {d} t={\frac {3}{27}}{\frac {t^{3}}{3}}{\bigg |}_{0}^{3}=1$.

Таким образом, функция распределения имеет вид $F(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq 0,\\{\frac {x^{3}}{27}},&\quad 0<x\leq 3,\\1,&\quad x>3\end{cases}}$

Упражнения

1 Выберите верное соотношение, при котором неотрицательная кусочно-непрерывная функция $f(x)$ является плотностью распределения случайной величины

	$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {d} t$
	$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$
	$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{0}f(t)\mathrm {d} t$

2 Какой вид имеет дисперсия непрерывной случайной величины?

	$\sigma X={\sqrt {\mathbf {D} X}}$
	$\mathbf {M} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm {d} x$
	$\mathbf {D} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x-\mathbf {M} X)^{2}f(x)\mathrm {d} x$