Вариационный принцип Гамильтона в фазовом пространстве[править]
Зафиксируем точки
и
фазового пространства
и моменты времени
. Пусть
— множество гладких кривых
соединяющих точки
:
. Определим функционал действия
по формуле
Вариация кривой
с закрепленными концами — это гладкое семейство кривых
, зависящее от параметра
, и такое, что
. Таким образом,
, где
— гладкие функции и
,
.
Кривая
называется экстремалью функционала
, если
для любой вариации
с закрепленными концами.
Теорема. (принцип Гамильтона в форме Пуанкаре) Кривая
является решением уравнений Гамильтона тогда и только тогда, когда она является экстремалью функционала действия
.
Доказательство. Пусть
— вариация кривой
. Найдем (для удобства здесь пишем
в виде строки)
Интегрируя по частям, получаем
где
. Если
— решение уравнений Гамильтона и концы фиксированы:
, то
. Обратное утверждение доказывается как для обычного принципа Гамильтона.