Участник:Isbur/Теоретическая механика III
Курс читал Евгений Иванович Кугушев осенью 2018 года на мехмате МГУ им. М.В. Ломоносова, III курс, отделение механики.
Программа курса
[править]Устойчивость положении равновесия. Малые колебания.
[править]- Устойчивость и асимптотическая устойчивость состояний равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений по Ляпунову. Функция Ляпунова, Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости (формулировка). Теорема Красовского о неустойчивости (формулировка).
- Положения равновесия натуральных лагранжевых систем. Теорема Лагранжа-Дирихле.
- Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия. Нормальные координаты. Уравнения малых колебаний.
- Экстремальные свойства собственных значений. Поведение собственных чисел при наложении связи. Поведение собственных чисел при изменении жесткостных или инерционных характеристик.
- Диссипативные и гироскопические силы. Диссипативность сил Релея. Теоремы Кельвина-Четаева о асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия при наложении диссипативных и гироскопических сил.
- Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений при наличии гироскопических сил. Парность корней характеристического уравнения. Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению.
- Степень неустойчивости. Теорема о невозможности гироскопической стабилизации, если степень неустойчивости нечетна.
Инвариантная мера
[править]- Инвариантная мера. Мера с гладкой плотностью. Плотность при замене координат. Теорема Лиувилля об инвариантной мере. Существование инвариантной меры на многообразии уровней первых интегралов.
- Теорема Пуанкаре о возвращении.
- Интегрируемость в квадратурах. Теорема Якоби о последнем множителе.
- Твердое тело с неподвижной точкой. Инвариантная мера уравнений Эйлера-Пуассона и интегрируемость в квадратурах.
Гамильтонова механика
[править]- Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа. Канонические переменные. Уравнения Гамильтона для натуральных механических систем.
- Свойства уравнений Гамильтона: интеграл энергии; циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона. Инвариантная мера уравнений Гамильтона (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема). Инвариантная мера уравнений Лагранжа.
- Преобразование Лежандра и его свойства.
- Вариационный принцип Гамильтона в фазовом пространстве.
- Лемма об аннуляторе канонической 2-формы. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Интегральный инвариант Пуанкаре. Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траекториям.
- Канонические преобразования. Свободные канонические преобразования. Производящая функция. Производящая функция тождественного преобразования.
- Понижение порядка по Уиттекеру. Автономизация системы.
- Уравнение Гамильтона-Якоби. Его полный интеграл. Разрешимость канонических уравнений Гамильтона в квадратурах. Метод разделения переменных при отыскании полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
- Маятник с вертикально вибрирующей точкой подвеса.
- Скобка Пуассона и ее свойства. Тождество Якоби. Теорема Пуассона о первых интегралах.
- Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах.