Говорят, что система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируема в квадратурах, если общее решение системы может быть получено с помощью конечного набора алгебраических операций, взятия неявных (обратных) функций, дифференцирования (взятия частных производных) и нахождения первообразных (интегрирования по одной переменной).
Теорема. Если система
-го порядка имеет
независимых первых интегралов
, то она интегрируема в квадратурах.
Доказательство. Любое решение
системы
лежит на некотором совместном уровне интегралов
, где
. В силу независимости первых интегралов
— это гладкая кривая (или некоторый набор гладких кривых). Возьмем кривую, проходящую через начальную точку искомого решения. Она может быть параметризована, например, какой-нибудь координатой
, для которой
-матрица
, невырождена. Разрешая систему уравнений
, выразим остальные координаты через
. После этого зависимость
находится из уравнения
, в котором переменные
и
разделяются. Затем определяются
.
Теорема. (теорема Якоби о последнем множителе). Пусть в окрестности неособой точки
система
имеет инвариантную меру с гладкой плотностью
. Тогда для интегрируемости в квадратурах достаточно иметь
независимых первых интеграла.
Доказательство. Пусть
. Рассмотрим дифференциальную форму
. Она замкнута, поскольку
. Согласно лемме Пуанкаре, локально
является дифференциалом некоторой функции
:
Отсюда вытекает, что
. Поэтому функция
— первый интеграл. Поскольку
и
, то
. Значит, система интегрируема в квадратурах.
Случай
сводится к предыдущему. Действительно, ограничим систему на совместный уровень первых интегралов. Он двумерный, и у получившейся системы есть инвариантная мера с гладкой знакопостоянной плотностью.