Понижение порядка по Уиттекеру. Автономизация системы
[править]
Пусть гамильтониан
не зависит явно от времени
. Рассмотрим регулярный уровень энергии
в фазовом пространстве, не содержащий положений равновесия (
при
). Тогда
- гладкая гиперповерхность. Определим функционал действия Мопертюи на множестве гладких кривых
по формуле
Функционал
не зависит от параметризации кривой
, а только от ее ориентации.
Теорема. (принцип Мопертюи в фазовом пространстве). Кривая
на уровне энергии
является траекторией гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда она является экстремалью функционала
в классе кривых на
с закрепленными концами.
Под траекторией гамильтоновой системы понимается ориентированная геометрическая кривая в фазовом пространстве, соответствующая решению. Параметризация значения не имеет.
Доказательство. Пусть
— решение гамильтоновой системы, а
- вариация с закрепленными концами
. Отметим, что
не зависит от параметризации, так что без ограничения общности можно считать, что
не зависят от
. Тогда
,
так что
и
отличаются на константу.
Поскольку
по принципу Гамильтона, получим
, что и требовалось.
Обратное утверждение доказывается несколько сложнее.
Задача. Докажите обратное утверждение, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
Следствие. Траектории гамильтоновой системы на уровне энергии
определяются только поверхностью
, но не конкретным видом функции
.
Попробуем ограничить исходную систему уравнений Гамильтона на
так, чтобы уравнения сохранили обычный (канонический) гамильтонов вид. Для этого будем считать
расширенным фазовым пространством системы с
степенями свободы. Перенумеровав обобщенные координаты и применив, если надо, каноническую замену
, добьемся, чтобы
. Будем параметризовать траектории гамильтоновой системы координатой
так, что
играет роль времени. Поскольку
, замена
возможна.
Выразим из уравнения
:
Положим
. Тогда
.
Теорема. Траектории уравнений Гамильтона на уровне энергии
, если их параметризовать параметром
, совпадают с траекториями гамильтоновой системы с функцией Гамильтона
:
Доказательство. Для любой кривой
на уровне
имеем
По принципу Мопертюи (эта часть была полностью доказана) траектории уравнений Гамильтона на уровне
являются экстремалями функционала
на множестве кривых
с закрепленными концами. Теперь теорема следует из принципа Гамильтона в пространстве переменных
.
Заметим, что из этой теоремы вытекает недоказанная часть принципа Мопертюи. Действительно, поскольку кривая
является экстремалью
тогда и только тогда, когда она является решением уравнений Уитеккера, через любую точку
проходит единственная экстремаль
. Но то же верно для траекторий гамильтоновой системы. Значит, любая экстремаль является траекторией.
Следует отметить, что за понижение порядка пришлось заплатить определенную цену: система перестала быть автономной. Операцию автономизации системы, в некотором смысле, обратную к понижению порядка по Уиттекеру, описывает следующее
Предложение. Неавтономные уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона
могут быть получены из автономных уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона
:
в результате проекции расширенных фазовых пространств
.
Доказательство. Сразу следует из сравнения системы из условия с исходной системой
Таким способом из неавтономной системы получаем автономную за счет увеличения числа степеней свободы.