Устойчивость и асимптотическая устойчивость состояний равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений по Ляпунову[править]
Система обыкновенных дифференциальных уравнений:
![{\displaystyle {\dot {x}}=v(x);\quad x\in \mathbb {R} ^{n}\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb2ceffcf7e9c29d31b52384fa201c0eff68e6f)
– решение системы (1) с начальными условиями
.
Состояние равновесия – это
– решение (1).
Без ограничения общности
. Работаем в открытом шаре
Определение. Состояние равновесия
называется устойчивым по Ляпунову, если
решение уравнения (1)
с начальным условием
существует при
и
.
Определение. Состояние равновесия
называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если:
- оно устойчиво по Ляпунову
решения ![{\textstyle \exists \lim _{t\rightarrow +\infty }\left|g^{t}\left(x^{*}\right)\right|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96825aced592d51e3ef8eeb44659172f5413ec84)
Функция Ляпунова, теорема Ляпунова об устойчивости[править]
Теорема. (Ляпунов) Если найдется гладкая функция
на шаре
, такая, что:
1)
для любого
2)
для любого
то состояние равновесия
устойчиво.
Такая функция V обычно называется функцией Ляпунова.
Доказательство. Зададимся произвольным
. Из условия 1 теоремы
![{\displaystyle \sigma =\min _{|x|=\varepsilon }V(x)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74eccbae12e30d54f6faa210fe09f87032d2deca)
В силу непрерывности функции V существует
такое, что
на шаре
(см. рисунок). Возьмем произвольное
и рассмотрим решение
. Из условия 2 следует, что
при
. Таким образом, решение
не может пересечь сферу
, так что
при
.
Теорема. Пусть найдется гладкая функция V на шаре
такая, что:
1)
для любого
2)
для любого
3) множество
не содержит решений системы (1), отличных от нулевого.
Тогда состояние равновесия
асимптотически устойчиво.
Теорема. (теорема Красовского). Пусть найдется гладкая функция V на шаре
такая, что:
1)
, причем начало координат
принадлежит границе области
;
2)
в области
;
3) множество
не содержцт ненулевых решений системы (1).
Тогда состояние равновесия
неустойчиво.