Теорема Пуанкаре о возвращении[править]
Пусть
— эндоморфизм пространства
и
— измеримое множество. Точка
называется возвращающейся (в
), если
для некоторого
.
Теорема. Пусть
. Тогда для любого измеримого
почти все точки
— возвращающиеся
Доказательство. Докажем упрощенный вариант этого утверждения. Покажем, что в случае
в
найдется хотя бы одна возвращающаяся точка. Допустим противное, что возвращающихся точек нет. Рассмотрим последовательность подмножеств:
![{\displaystyle T^{-1}(A),T^{-2}(A),\ldots ,T^{-n}(A),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6921425cf275d989c29470aa4fcb77761113acc1)
Пусть какая-то пара из них имеет непустое пересечение:
для некоторых целых
. Возьмем
. Тогда точка
возвращающаяся, так как
. Это противоречит допущению. Значит, множества попарно не пересекаются и мера их объединения совпадает с суммой их мер:
![{\displaystyle {\begin{array}{c}{\mu \left(T^{-1}(A)\cup T^{-2}(A)\cup \ldots \right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu \left(T^{-i}(A)\right)=}\\{=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A)\leq \mu (M)}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18aaa2d998c3deb6fcb33048257546c82f21ff37)
Так как
, это неравенство может выполняться лишь в случае
.
Доказательство 2. Полный вариант. Пусть
— множество, состоящее из всех невозвращающихся в А точек. Тогда
измеримо.
Если
, то для любого натурального
имеем
. Следовательно,
, откуда вытекает, что
. Поэтому
. Отсюда следует, что
попарно не пересекаются. (Действительно, при
)
Поэтому
![{\displaystyle \infty >\mu (M)\geq \mu \left(\cup _{n=0}^{\infty }T^{-n}(N)\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu \left(T^{-n}(N)\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2565cb7cf301187cd5e7a8f6f3836d11b9dcdd07)
Это возможно лишь при
.
Следствие. Почти все
возвращаются бесконечное число раз.
Доказательство. Если точка
возвращается лишь конечное число раз, то
не возвращается для
при некотором
. Множества
соответствующих невозвращающихся точек имеют меру нуль. Так как
, множество возвращающихся бесконечное число раз точек имеет меру, равную
.