Степень неустойчивости. Теорема о невозможности гироскопической стабилизации, если степень неустойчивости нечетна.

Определение. Степенью неустойчивости по Пуанкаре положения равновесия натуральной лагранжевой системы называется отрицательный индекс инерции квадратичной формы ${\textstyle \langle B\mathbf {q} ,\mathbf {q} \rangle }$ (т. е. число отрицательных собственных чисел матрицы В).

Задача 9.3. Покажите, что степень неустойчивости положения равновесия совпадает с числом отрицательных корней уравнения ${\textstyle \operatorname {det} (\lambda A-B)=0}$ .

Линеаризованные уравнения Лагранжа при наличии диссипативных и гироскопических сил имеют вид

${\textstyle A{\ddot {\mathbf {q} }}+B\mathbf {q} =C{\dot {\mathbf {q} }}}$ ,

где А и В — симметрические матрицы, причем А положительно определена.

Будем искать решение системы (9.9) в виде ${\textstyle \mathbf {q} =\mathbf {u} e^{\lambda t}}$ .

Тогда

${\textstyle f(\lambda )=\operatorname {det} \left(A\lambda ^{2}-C\lambda +B\right)=0}$

Рассмотрим более подробно ситуацию, когда критическая точка потенциальной энергии невырождена, т. е. ${\textstyle \operatorname {det} B\neq 0}$

Теорема 9.8 (теорема Кельвина—Четаева). Если неустойчивое положение равновесия натуральной лагранжевой системы имеет нечетную степень неустойчивости, то его нельзя стабилизировать добавлением диссипативных и гироскопических сил.

Доказательство. Пусть степень неустойчивости нечетна. Рассмотрим ${\textstyle f(\lambda )}$ для вещественных ${\textstyle \lambda }$ . Тогда ${\textstyle f(0)=\operatorname {det} B<0}$ . Поскольку ${\textstyle f(\lambda )=\lambda ^{2n}\operatorname {det} \left(A-C/\lambda +B/\lambda ^{2}\right)}$ и ${\textstyle \operatorname {det} A>0}$ , то ${\textstyle f(+\infty )=+\infty }$ ( ${\textstyle n}$ — число степеней свободы системы). Итак, ${\textstyle f(0)<0}$ и ${\textstyle f(+\infty )=+\infty }$ , значит, характеристическое уравнение имеет положительный вещественный корень ${\textstyle \lambda >0}$ (рис. 9.5).