Рассмртрим лагранжеву систему с конфигурационным пространством ${\textstyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ и функцией Лагранжа ${\textstyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},{\boldsymbol {t}})}$ .

Обобщенный импульс:

${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\quad (1)}$

Обобщенная энергия:

${\textstyle E(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=\langle \mathbf {p} ,{\dot {\mathbf {q} }}\rangle -L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$

Предположим, что уравнение (1) можно разрешить относительно обобщенных скоростей ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {v} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ . Тогда функцией Гамильтона называется обобщенная энергия, выраженная через переменные ${\textstyle q,p,t}$ :

${\textstyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=E(\mathbf {q} ,\mathbf {v} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t),t)=\left.(\langle \mathbf {p} ,{\dot {\mathbf {q} }}\rangle -L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t))\right|_{{\dot {\mathbf {q} }}\rightarrow \mathbf {p} }}$

В математических терминах ${\textstyle H(q,p,t)}$ — преобразование Лежандра функции Лагранжа ${\textstyle L(q,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ по скорости ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ . Из общих свойств преобразования Лежандра вытекает следующая

Теорема. При замене переменных ${\textstyle (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\mapsto (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ уравнения Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона

${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }},\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\quad (2)}$

Таким образом, ${\textstyle n}$ уравнений Лагранжа второго порядка переписаны в виде ${\textstyle 2n}$ уравнений Гамильтона первого порядка.

Пространство переменных ${\textstyle x=(q,p)}$ называют фазовым пространством, а переменные ${\textstyle (q,p)}$ — каноническими переменными. Фазовое пространство будет обозначаться ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ .

Система (2) имеет вид ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {v} _{\boldsymbol {H}}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {t}})}$ , где ${\textstyle \mathbf {x} =(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ , а ${\textstyle \mathbf {v} _{H}(\mathbf {x} ,t)=(\partial H/\partial \mathbf {p} ,-\partial H/\partial \mathbf {q} )}$ — гамильтоново векторное поле.

Функция Гамильтона натуральных механических систем

Рассмотрим натуральную механическую систему с ${\textstyle n}$ степенями свободы и лагранжианом

${\textstyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=T-V,\quad T={\frac {1}{2}}\langle A(\mathbf {q} ){\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\mathbf {q} }}\rangle ,\quad V=V(\mathbf {q} )}$

где ${\textstyle \mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{n}}$ – обобщенные координаты; ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$ – обобщенные скорости; ${\textstyle T}$ и ${\textstyle V}$ — кинетическая и потенциальная энергия системы; ${\textstyle A}$ — симметрическая, положительно определенная матрица.

Обобщенный импульс определяется по формуле

${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=A(\mathbf {q} ){\dot {\mathbf {q} }}}$

Функция Гамильтона получается подстановкой

${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}=A^{-1}(\mathbf {q} )\mathbf {p} }$

в формулу полной энергии

${\textstyle E(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=T+V={\frac {1}{2}}\langle A(\mathbf {q} ){\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\mathbf {q} }}\rangle +V(q)}$

Таким образом, функция Гамильтона имеет вид

${\textstyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=E\left(\mathbf {q} ,A^{-1}(\mathbf {q} )\mathbf {p} \right)={\frac {1}{2}}\left\langle A^{-1}(\mathbf {q} )\mathbf {p} ,\mathbf {p} \right\rangle +V(\mathbf {q} )}$

Для натуральных систем матрица ${\textstyle A(q)}$ всегда невырождена, так что функция Гамильтона всегда определена.