Свойства уравнений Гамильтона: интеграл энергии; циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона. Инвариантная мера уравнений Гамильтона (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема). Инвариантная мера уравнений Лагранжа.

Уравнения Гамильтона: ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {v} _{\boldsymbol {H}}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {t}})}$ , где ${\textstyle \mathbf {x} =(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ , а ${\textstyle \mathbf {v} _{H}(\mathbf {x} ,t)=(\partial H/\partial \mathbf {p} ,-\partial H/\partial \mathbf {q} )}$ — гамильтоново векторное поле на фазовом пространстве ${\textstyle \mathbb {R} ^{2n}}$ .

Функция Гамильтона ${\textstyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {t}})}$ — это обобщенная энергия ${\textstyle E={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L}$ , выраженная через ${\textstyle q,p,t}$ . Для натуральной системы она совпадает с полной механической энергией системы.

Теорема. (об изменении энергии). Пусть ${\textstyle {\dot {H}}}$ — производная функции ${\textstyle H}$ в силу уравнений Гамильтона. Тогда ${\textstyle {\dot {H}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}$ .

Доказательство. По определению ${\textstyle {\dot {\boldsymbol {H}}}=\left\langle {\frac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial \mathbf {q} }},{\dot {\mathbf {q} }}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial \mathbf {p} }},{\dot {\mathbf {p} }}\right\rangle +{\frac {\partial H}{\partial t}}}$ . Первые два члена суммы взаимно уничтожаются при подстановке выражений для ${\textstyle {\dot {q}}}$ и ${\textstyle {\dot {p}}}$ .

Следствие. Если гамильтониан ${\textstyle H=H(q,p)}$ не зависит явно от времени, то он является первым интегралом уравнений Гамильтона.

Если координата ${\textstyle q_{i}}$ циклическая, т. е. ${\textstyle \partial L/\partial q_{i}=0}$ , то ${\textstyle {\dot {p}}_{i}=\partial H/\partial q_{i}=0}$ . Значит, ${\textstyle p_{i}}$ — первый интеграл уравнений Гамильтона. Понижение порядка по Раусу в гамильтоновой форме тривиально. «Забываем» уравнение ${\textstyle {\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i}}$ и считаем ${\textstyle p_{i}=c=const}$ . Получаем гамильтониан и уравнения Гамильтона для ${\textstyle 2n-2}$ переменных.

Возьмем дивергенцию гамильтонова векторного поля ${\textstyle \mathbf {v} _{H}(\mathbf {x} ,t)=(\partial H/\partial \mathbf {p} ,-\partial H/\partial \mathbf {q} )}$ :

${\textstyle \operatorname {div} \mathbf {v} _{H}=\sum \left({\frac {\partial }{\partial q_{j}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}\right)=0}$

Следовательно, из теоремы Лиувилля вытекает, что стандартная лебегова мера, плотность которой в координатах ${\textstyle (q,p)}$ равна 1, инвариантна относительно фазового потока. Доказана следующая

Теорема. (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема). Фазовый поток гамильтоновой системы имеет инвариантную меру ${\textstyle dp\;dq}$ . Более точно, пусть ${\textstyle g_{t_{0}}^{t_{1}}:\mathbb {R} ^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{2n}}$ — сдвиг вдоль траекторий гамильтоновой системы за время ${\textstyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$ . Тогда для любой области ${\textstyle D}$

${\textstyle \operatorname {vol} \left(g_{t_{0}}^{t_{1}}D\right)=\operatorname {vol} (D)}$

Следствие. Уравнения Лагранжа имеют инвариантную меру.

Задача. Покажите, что плотность этой меры в пространстве переменных ${\textstyle \mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }}}$ равна определителю матрицы ${\textstyle \partial ^{2}L/\partial {\dot {\mathbf {q} }}^{2}}$ , где ${\textstyle L(q,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ – лагранжиан системы. В частности, для натуральных механических систем плотность инвариантной меры в пространстве переменных ${\textstyle \mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }}}$ равна определителю матрицы кинетической энергии.