Преобразование Лежандра и его свойства

Гладкая функция ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ определяет отображение

${\textstyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},\quad \mathbf {x} \mapsto \mathbf {y} =F(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}}$

Предположим, что отображение ${\textstyle F}$ имеет гладкое обратное ${\textstyle F^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ . Локально это гарантируется условием Лежандра ${\textstyle \operatorname {det} {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \mathbf {x} ^{2}}}\neq 0}$ . Будем предполагать, что это условие выполнено. Преобразованием Лежандра функции ${\textstyle f}$ называют функцию ${\textstyle g={\hat {f}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ :

${\textstyle g(\mathbf {y} )=\left.(\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle -f(\mathbf {x} ))\right|_{\mathbf {x} =F^{-1}(\mathbf {y} )}}$

Из следующего утверждения видно, что ${\textstyle g}$ также удовлетворяет условию Лежандра.

Лемма. Пусть для функции ${\textstyle f(x)}$ в точке ${\textstyle x}$ выполнено условие Лежандра, тогда в некоторой окрестности точки ${\textstyle \mathbf {y} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}}$ определено преобразование Лежандра ${\textstyle g(y)}$ и ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}=\mathbf {y} ,\quad {\frac {\partial g}{\partial \mathbf {y} }}=\mathbf {x} ,\quad {\frac {\partial ^{2}g}{\partial \mathbf {y} ^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \mathbf {x} ^{2}}}\right)^{-1}}$

Доказательство. Первое соотношение выполнено по определению. Используя его и дифференцируя

${\textstyle dg(\mathbf {y} )=\left\langle {\frac {\partial g}{\partial \mathbf {y} }},d\mathbf {y} \right\rangle =\langle \mathbf {y} ,d\mathbf {x} \rangle +\langle d\mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle -\left\langle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }},d\mathbf {x} \right\rangle =\langle d\mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }$

получаем второе. Отсюда получаем третье:

${\textstyle {\frac {\partial ^{2}g}{\partial \mathbf {y} ^{2}}}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {y} }}=\left({\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right)^{-1}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \mathbf {x} ^{2}}}\right)^{-1}}$

Предложение. Преобразование Лежандра инволютивно:

${\textstyle {\hat {\hat {f}}}={\hat {g}}=f}$

Доказательство. Поскольку ${\textstyle f(x)=\langle \mathbf {y} ,x\rangle -g(y)}$ , достаточно доказать, что ${\textstyle {\frac {\partial g}{\partial \mathbf {y} }}=\mathbf {x} }$ . Но это следует из леммы.

В частности, гамильтониан — преобразование Лежандра лагранжиана, а лагранжиан — преобразование Лежандра гамильтониана.

Лемма. Пусть функция ${\textstyle f=f(x,z)}$ зависит от дополнительного переменного ${\textstyle z}$ . Тогда ${\textstyle g=g(\mathbf {y} ,\mathbf {z} )}$ и ${\textstyle {\frac {\partial g}{\partial z}}=-{\frac {\partial f}{\partial z}}}$ .

Доказательство. Повторяя доказательство леммы выше, получим

${\textstyle dg(\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\langle d\mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle -\left\langle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {z} }},d\mathbf {z} \right\rangle }$

Применив данное утверждение к функции Лагранжа ${\textstyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ , получим, что в канонических переменных уравнения Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона. Отметим еще, что функция Рауса — преобразование Лежандра лагранжиана по циклическим скоростям.