Инвариантная мера. Мера с гладкой плотностью. Плотность при замене координат

Рассмотрим на гладком многообразии ${\textstyle M}$ произвольную систему обыкновенных дифференциальных уравнений ${\textstyle {\dot {x}}=v(x,t)}$ . В локальных координатах ${\textstyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\dots ,x_{m}\right),\mathbf {v} =\left(v_{1},\dots ,v_{m}\right)}$ . Считаем, что решения определены при всех ${\textstyle t\in \mathbb {R} }$ . Неавтономный случай сводится к автономному путем добавления уравнения ${\textstyle {\dot {t}}=1}$ и перехода к расширенному фазовому пространству ${\textstyle M\times \mathbb {R} }$ . Поэтому в дальнейшем считаем, что ${\textstyle v=v(x)}$ не зависит от ${\textstyle t}$ .

Пусть ${\textstyle g^{t}:M\rightarrow M}$ — сдвиг вдоль решений системы

${\dot {x}}=v(x,t)\quad (1)$

сопоставляющий любой точке ${\textstyle x\in M}$ — начальному условию в момент времени 0 — точку ${\textstyle g^{t}(x)}$ , в которой окажется решение в момент времени ${\textstyle t}$ . Отображения ${\textstyle g^{t}}$ образуют однопараметрическую группу преобразований фазового пространства — фазовый поток ${\textstyle g^{t}}$ .

Нас интересуют меры на фазовом пространстве обыкновенного дифференциального уравнения, инвариантные относительно соответствующего фазового потока. Строго говоря, для определения меры требуется сначала задать ${\textstyle \sigma }$ -алгебру измеримых подмножеств. Но для нас эти тонкости существенного значения не имеют, так как рассматриваемые меры обладают гладкой плотностью и поэтому задаются дифференциальными формами. Открытые и замкнутые множества измеримы.

Пусть ${\textstyle \mu }$ — мера на ${\textstyle M}$ с гладкой плотностью ${\textstyle \rho (x)}$ , т.е. для любого измеримого множества ${\textstyle D\subset M}$

$\mu (D)=\int _{D}d\mu$

В локальных координатах ${\textstyle d\mu =\rho (\mathbf {x} )d\mathbf {x} }$ , где ${\textstyle d\mathbf {x} =dx_{1}\dots dx_{m}}$ . Будем требовать, чтобы всюду на ${\textstyle M}$ плотность ${\textstyle \rho }$ меры была больше нуля. Фазовые пространства дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, обычно ориентируемы. Тогда меру с гладкой плотностью можно отождествить с дифференциальной ${\textstyle m}$ -формой ${\textstyle \rho (\mathbf {x} )dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{m}}$ . Будем называть её формой меры ${\textstyle \mu }$ .

Рассмотрим область ${\textstyle D}$ , в которой задана мера с гладкой плотностью, и две координатные системы: ${\textstyle x}$ и ${\textstyle y}$ . Обозначим соответствующие плотности ${\textstyle \rho _{x}(x)}$ и ${\textstyle \rho _{y}(y)}$ . Из теоремы о замене переменных в кратных интегралах следует, что при сохраняющей ориентацию замене координат ${\textstyle y=y(x)}$ ) плотность умножается на якобиан замены:

$p_{x}(\mathbf {x} )=\left|{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right|_{P_{y}}(\mathbf {y} (\mathbf {x} )),\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right|=\operatorname {det} \left({\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right)$

Таким образом, ${\textstyle \rho }$ не является в точном смысле функцией на ${\textstyle M}$ . В дальнейшем все рассуждения ведутся в фиксированной системе координат, так что будем называть ${\textstyle \rho }$ функцией.

Определение. Мера ${\textstyle \mu }$ называется инвариантной относительно системы (1), если для любого ${\textstyle \mu }$ -измеримого множества ${\textstyle D\subset M}$ и любого ${\textstyle t\in \mathbb {R} }$

$\mu (D)=\mu \left(g^{t}(D)\right)$

Теорема Лиувилля об инвариантной мере.

Теорема. (теорема Лиувилля). Гладкая функция ${\textstyle \rho (x)}$ является плотностью инвариантной меры для уравнения ${\textstyle {\dot {x}}=v(x)}$ тогда и только тогда, когда ${\textstyle \operatorname {div} (\rho \mathbf {v} )=0}$ , где

$\operatorname {div} (\rho \mathbf {v} )=\sum _{i}{\frac {\partial \left(pv_{i}\right)}{\partial x_{i}}}$

Доказательство. Возьмем любую малую область ${\textstyle D}$ в координатной окрестности с координатами ${\textstyle x}$ . Тогда для любого близкого к нулю момента ${\textstyle t}$ область ${\textstyle g^{t}(D)}$ лежит в той же координатной окрестности. Условие ивариантности меры можно записать следующим образом:

$\int _{D}\rho (\mathbf {x} )d\mathbf {x} =\int _{g^{t}(D)}\rho (\mathbf {x} )d\mathbf {x}$

Произведя в последнем интеграле замену переменных ${\textstyle x=g^{t}(y)}$ , получаем

$\int _{D}\rho (\mathbf {x} )d\mathbf {x} =\int _{D}p\left(g^{t}(\mathbf {y} )\right)\left|{\frac {\partial g^{t}(\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {y} }}\right|d\mathbf {y}$

Это выражение не зависит от ${\textstyle t}$ . Поэтому

${\frac {d}{dt}}\int _{D}\rho \left(g^{t}(\mathbf {x} )\right)\left|{\frac {\partial g^{t}(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right|d\mathbf {x} =\int _{D}{\frac {d}{dt}}\left(\rho \left(g^{t}(\mathbf {x} )\right)\left|{\frac {\partial g^{t}(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right|\right)d\mathbf {x} =0$

Поскольку область ${\textstyle D}$ произвольна, это условие эквивалентно обращению в нуль подынтегрального выражения в последнем соотношении. Так как система автономна, это достаточно проверить только для ${\textstyle t=0}$ . Окончательно получаем, что условие инвариантности меры эквивалентно следующему:

${\begin{array}{c}{{\frac {d}{dt}}\left.\left(\rho \left(g^{t}(\mathbf {x} )\right)\left|{\frac {\partial g^{t}(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right|\right)\right|_{t=0}=}\\{={\frac {d\mathbf {p} \left(g^{t}(\mathbf {x} )\right)}{dt}}\left|{\frac {\partial g^{t}(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right|_{t=0}+\rho \left(g^{t}(\mathbf {x} )\right){\frac {d}{dt}}\left|{\frac {\partial g^{t}(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right|_{t=0}=0}\end{array}}$

Воспользуемся соотношениями

${\begin{array}{l}{g^{t}(x)=x+v(x)t+O\left(t^{2}\right)}\\{{\frac {\partial g^{t}(x)}{\partial x}}=E+{\frac {\partial v}{\partial x}}t+O\left(t^{2}\right)}\end{array}}$

а также тождеством

${\frac {d}{dt}}\operatorname {det} \left.\left(E+Bt+O\left(t^{2}\right)\right)\right|_{t=0}=\operatorname {tr} B$

где Е — единичная матрица; В — любая квадратная матрица соответствующего размера; ${\textstyle tr\;B}$ — след В. Получаем, что при ${\textstyle t=0}$ :

${\frac {d\rho }{dt}}+\rho \operatorname {tr} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}=\sum _{i}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}v_{i}+\rho \sum _{i}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=\operatorname {div} (\rho \mathbf {v} )=0$

Существование инвариантной меры на многообразии уровней первых интегралов.

Напомним, что функция ${\textstyle {\boldsymbol {F}}:M\rightarrow \mathbb {R} }$ называется первым интегралом системы (1), если она постоянна на решениях: ${\textstyle F(x(t))}$ не зависит от ${\textstyle t}$ для любого решения ${\textstyle x(t)}$ . Если ${\textstyle F}$ гладкая, то она является первым интегралом тогда и только тогда, когда ее производная в силу системы равна нулю: ${\textstyle {\dot {F}}=v(F)=0}$ . Здесь ${\textstyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {F}})=\sum {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial x_{j}}}v_{j}}$ — производная ${\textstyle F}$ вдоль векторного поля ${\textstyle v}$ .

Множество уровня функции ${\textstyle F}$

$M_{c}=\{\mathbf {x} \in M:F(\mathbf {x} )=c={\text{ const }}\}$

называется неособым, если ${\textstyle \operatorname {grad} F}$ не обращается в нуль на ${\textstyle M_{c}}$ . Неособые уровни ${\textstyle M_{c}}$ являются гладкими многообразиями.

Теорма. Пусть ${\textstyle \mu }$ — инвариантная мера и ${\textstyle F}$ — первый интеграл. Тогда ограничение системы на неособый уровень интеграла ${\textstyle M_{c}}$ имеет инвариантную меру ${\textstyle \nu }$ . Если мера ${\textstyle \mu }$ задается дифференциальной формой ${\textstyle {\hat {\mu }}}$ , то ${\textstyle \nu }$ задается формой ${\textstyle {\hat {\nu }}}$ , такой, что $dF\wedge {\hat {\mathbf {v} }}={\hat {\mu }}$

Доказательство. Уровень ${\textstyle M_{c}}$ неособый (т.е. ${\textstyle \operatorname {grad} \left.F\right|_{M_{c}}\neq 0}$ ). Следовательно, по теореме о неявной функции в окрестности любой точки ${\textstyle x\in M_{c}}$ существуют локальные координаты ${\textstyle y=\left(y_{1},\dots ,y_{m}\right)}$ на ${\textstyle M}$ такие, что ${\textstyle y_{1}=F-c}$ . В частности, ${\textstyle M_{c}}$ задается уравнением ${\textstyle y_{1}=0}$ .

Пусть ${\textstyle \alpha (y)}$ — плотность меры ${\textstyle \mu }$ в координатах ${\textstyle y}$ . Запишем уравнения (1) в координатах ${\textstyle y}$ :

${\dot {y}}_{1}=\varphi _{1}(\mathbf {y} )=0,\quad {\dot {y}}_{2}=\varphi _{2}(\mathbf {y} ),\ldots ,{\dot {y}}_{m}=\varphi _{m}(\mathbf {y} )$

Согласно теореме Лиувилля,

$\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \left(\alpha \varphi _{j}\right)}{\partial y_{j}}}=\sum _{j=2}^{m}{\frac {\partial \left(\alpha \varphi _{j}\right)}{\partial y_{j}}}=0$

Уравнение для формы ${\textstyle {\hat {\nu }}}$ в координатах ${\textstyle y}$ принимает вид

$dy_{1}\wedge {\hat {v}}=\alpha (\mathbf {y} )dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{m}$

Общее решение уравнения этого уравнения есть сумма двух слагаемых:

${\hat {\mathbf {v} }}={\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {y} )dy_{2}\wedge \ldots \wedge dy_{m}+dy_{1}\wedge \lambda$

где ${\textstyle \lambda }$ — произвольная ${\textstyle m-2}$ -форма. При этом второе слагаемое оказывается равным нулю при ограничении на ${\textstyle M_{c}}$ . Поэтому

$\left.{\hat {\mathbf {v} }}\right|_{M_{c}}=\alpha \left.(\mathbf {y} )\right|_{y_{1}=0}dy_{2}\wedge \ldots \wedge dy_{m}$

Ограничение системы (1) на ${\textstyle M_{c}}$ теперь имеет вид

${\dot {y}}_{2}=\left.\varphi _{2}\right|_{y_{1}=0},\dots ,{\dot {y}}_{m}=\left.\varphi _{m}\right|_{y_{1}=0}$

Проверка того, что ${\textstyle {\hat {\mathbf {v} }}|{\boldsymbol {M}}_{\boldsymbol {c}}}$ — форма инвариантной меры (или, другими словами, что ${\textstyle \left.\alpha \right|_{y_{1}=0}}$ — плотность инвариантной меры в координатах ${\textstyle y}$ ) теперь сводится к применению теоремы Лиувилля).