Скалярное произведение векторов/Задачи/Векторное произведение векторов (практика)

Ортогональный базис

• Ортогональный базис - базис $e_{1},e_{2},...e_{n}$ евклидова пространства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, если кроме того, все векторы базиса имеют единичную длину (нормализованы), то базис называется ортонормированным.

Векторное произведение векторов

Векторное произведение двух векторов - если два вектора $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ представлены в ортонормированном базисе, то их векторное произведение имеет вид

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})$

Векторное произведение двух векторов позволяет найти ось перпендикулярную плоскости, образуемой этими двумя векторами. Нахождение этой оси необходимо при осуществлении поворота одного из этих векторов, так как нужно знать по отношению к какой оси будет осуществляться поворот.

Пример для 3-х мерного пространства

• Даны вектора ${\overrightarrow {A}}(2,2,2)$ и ${\overrightarrow {B}}(0.5,0.8,1.3)$
• Тогда их векторное произведение:

$[{\overrightarrow {A}},{\overrightarrow {B}}]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})=(2\cdot 1.3-2\cdot 0.8,\;2\cdot 0.5-2\cdot 1.3,\;2\cdot 0.8-2\cdot 0.5)=(1,-1.6,0.6)$

Программный код векторного произведение двух 3-х мерных векторов  

public static xyzVector cross(xyzVector v1, xyzVector v2)
{
	return new xyzVector(
			(v1.Y * v2.Z) - (v1.Z * v2.Y),
			(v1.Z * v2.X) - (v1.X * v2.Z),
			(v1.X * v2.Y) - (v1.Y * v2.X)
	);
}

Калькуляторы on-line

• Нахождение векторного произведения векторов